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ſchiedenen Permutationen 1n!/g! h! k!--- Jede
Permutation kann durch eine Anzahl Trans-
pojitionen (Vertauſchung je eines Buchſtabens
mit einem andern) hervorgebracht werden, Line
andre ſehr wichtige Art Verſehung iſt der Zyklus.
Er beſteht darin, daß eine Gruppe von Buchſtaben
(abe ---m) ſo vertauſcht wird, daß a an die 2.,
b an die 3., - -- m an die 1. Stelle rückt.
15. Kombination heißt eine Gruppe von m
Duchſtaben, dieausn gegebenen geſehmäßiggebildet
wird. Man unterſcheidet 4 Klaſſen von Kombina-
tionen, je nachdem in den Gruppen Wiederholung
der Buchſtaben u. Verſehungvorgenommen wird od,
WV WVWVvV
nicht, Kurze Darſtellung: 5 5 ow mo Wy
(W = Wiederholung, V == Verſehung; m == mit,
0 == ohne). Die Klaſſen, in denen Wiederholung
zugelaſſen wird (mo u. mm), heißen auch V a»
riationen. Die Anzahl der Kombinationen
oW, oV iſt gegeben durch die Binomial-
-„ (n=1) n(n--1)n --2) ;
koeffizienten m, “1 3-, 5905, bezüglich
1.2 “
der übrigen muß auf die Fachſchriſten verwieſen
werden.
16. Wahrſcheinlichkeit8rechnung.
Mathematiſche Wahrſcheinlichkeit iſt ein Bruch,
deſjen Zähler die ſür das Eintreſſen eines Ex-
eigniſſes günſtigen, deſſen Nenner die Anzahl der
möglichen Fälle angibt. Die Wahrſcheinlichkeits»
rechnung lehrt dieſe Zahlen finden u. beant»
wortet die Fragen, die ſich an da3 Zuſammen»
treſſen verſchiedener Ereigniſſe knüpfen. Es kann
geſragt werden, wie groß die Wahrſcheinlichkeit
iſt, daß 2 Ereigniſſe, deren Wahrſcheinlichkeiten
gegeben ſind, beide eintreſſen, od. daß nur eines
von ihnen eintriſſt. Die Wahrſcheinlichkeit3rech»
nung iſt von beſonderer Wichtigkeit für die V er-
ſicherung8mathematik,
17. Kettenbruch iſt ein gemiſchter Bruch,
deſſen Bruch den Zähler 1 hat u. deſſen Nenner
ein gemiſchter Bruch iſt, deſſen Zähler 1 u.
deſſen Nenner ein gemiſchter Bruch iſt uſw. Die
Kettenbrüche dienen zur Darſtellung gegebener
Brüche in kleinern Zahlen mit möglichſt großer
Näherung an den wahren Wert. Beſondere
Bedeutung haben ſie für die Zahlentheorie u.
löſen z. B. die Pellſche Gleichung x* -- Dy?
== 4, wo D eine ganze poſitive Nichtquadrat»-
ahl iſt u. x, y ganze Zahlen ſein müſſen. Die
ellſche Gleichung iſt eine der berühmteſten un-
beſtimmten Gleichungen. Eine andre iſt die
Aufgabe, x? -|- pp? == z* in ganzen Zahlen zu
löſen. Iſt x? -1- y" =: z/ zu löſen, ſo daß x, y,
2 ganze Zahlen u. ) eine Primzahl iſt > > 2, ſo
behauptet der in vielen Fällen, aber no< nicht all
gemein bewieſene große Saß des Fermat, daß die
Auſgabe unlösbar ſei. Mit ſol der ganzen Zahlen, die ihnen als ſolchen zukommen,
beſaßt ſich die Zahlentheorie od. höhcre A.
Literatur. Für die Grundlagen: Hilbert,
Grundlagen der Geometrie (21909) ; Stolz u.
Omeiner, Theoret, A. (1902); Voß, fiber d. Weſen

Armenbibel -- Armenſ
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d. Mathem. (1908). Von den dem Unterrichte dienen
wollenden Lehrbüchern der A. ſind in Fühlung mit
dem Foriſchritte der Wiſſenſchaft u. a.: Schubert,
A, u. Algebra (1899) , Borel»Stäckel, Die Ele»
mente der Mathematik (1908), Weber-Wellſtein,
Snaytlop. d. Elementarmath. 1 (21909), Schwering,
Handb. d. Elementarmath. für Lehrer (1907), der].,
A. 11, Algebra (21906). -- Die Zahlentheorie be-
Handeln die Werke von Dirichlet, Vorleſungen über
Ban entheorie (1894, hr8g, vonn Dedekind), Wert-
eim, Anfangösgründe der Zahlenlehre (1902) u.
Dachmann, Niedere Zahlentheorie (2 Bde, 1902/10);
derſ., Zahlentheorie (5 Tle, 1892/1905).
[K. Sc AxMmenbibel [. Biblia pauporum,
Armenbücher ſ. Lernmittel für arme
Kinder.
Armmenſ anſtalten. Jm weiteſten Sinne ſind A. alle An=-
ſtalten, in denen mittelloſe Kinder u. junge Leute
unentgeltlich unterrichtet werden, alſo auch Waiſen=-
häuſer, Rettungsanſtalten uſw. Hier ſoll jedoch
nur von ſolchen Anſtalten geredet werden, die
bloß Kinder völlig mittelloſer Eltern unterrichten.
Wie die Kirche ſich ſtet8 der Armen in ihren
leiblichen u. geiſtigen Nöten angenommen hat,
jo gingen auch die A. aus ihren Kreiſen hervor.
Joſeph v. Calaſanza (ſ. d.), geb. 1556, gründete
die „Kongregation der Armen der Muttergotte3
der frommen Schulen“ (8cholarum piarum).
Man nennt die Mitglieder Piariſten (. d.). Dieſe
Kongregation, die 1616 von Papſt Paul V. be-
ſtätigt u. 1622 von Gregor XV. zu einem Orden
erhoben wurde, breitete ſich ſchr ſchnell aus u,
wirkt auc heute noch in verſchiedenen Ländern im
Sinne des Stiſter8. Petrus Forerius (Fourier),
geb. 1565, gründete als Pfarrer von Mattaincourt
(Vogeſen) die „Chorſrauen»-Kongregation Unſrer
Lieben Fran“, die den Kindern aus den mittlern
u. untern Ständen unentgeltlich Unterricht zu er-
teilen hatte. Der Kanonikus Joh, Bapt. de la Salle
(f. d.), geb. 1651, gründete in Reims Freiſchulen
u. vereinigte die Lehrer zu der Kongregation der
Schulbrüder (ſ. d.), die, um keinen Zweifel über
ihre Zieleauſkommenzu laſſen, den Namen wählten:
Prdros des eEcolos chrötionnes et gratuites
(„Brüder der war e3 Noſa v. Venerini in Viterbo, die für den
Unterricht armer Mäden ſorgte. Diejenigen unter
den lehztern, die beſonderes Talent zeigten, bildete ſie
zu Lehrerinnen aus; ſie hatten wiederum nur arme
Mädchen zu unterrichten. Dieſe Armenlehrerinnen
nannten ſich Filippinen. Aud) der im 14. Jahrh.
gegründete Orden der „Brüder des gemeinſamen
Leben8" (ſ. Fraterherren) errichtete A. Über die
Tätigkeit Don Bosco3 in der Erziehung verwahr-
loſter Knaben vgl. den Art, Bos8co. --- Auf evan-
geliſcher Seite machte ſich Aug. erm. Franke
um den Unlerricht der armen Kinder in hohem
Maße verdient. Zuerſt zahlte er aus den Mitteln,
die ihm von Wohlhabenden zufloſſen, das Scul-
geld für die Kinder der Armen, Bald errichtete

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