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werden, Die Frage nach der Löſung der Auſgabe,
dieſe Senkrechte zu beſtimmen, beantwortet der
wichtige Saß von den 3 Senkrechten. Die Samm-
lung der ſo berührten Erkenntniſſe bildet den erſten
Teil der S. Für da3 wiſſenſchaftliche Verfahren
muß er ſelbſiverſjändlich den Vortritt haben vor
allen weitern Unterjuchungen. Beim Schulunier»
richt verſährt man zwecmäßig ander3. An die Be-
ſprechung der allgemeinen Verhältniſſe ſchließt ſich
die Behandlung der geſchloſſenen Figuren, 11, zwar
zunächſt der von Cbenen begrenzten. Die einfachſte
iſt das Tetraeder. Gegenüber der einfachſten ebe»
nen Figur, dem Dreie> mit ſeinen 3 Seiten u,
3 Winkeln, zeigt da3 Vierſlach einen außerordent-
lich geſteigerten Begriſſsinhalt, E3 hat 4 Seiten»
ſlächen (Dreie>e), 4 E>en (Punkte), 6 Kanten
(Strecken), 6 Flächenwinkel (Neigungen von Ebe-
nen). Die 4 Eden ſind 3jeitig; am Tetraeder
kann man 12 ebene Winkel beobachten, die an den
4 Ex>en als Seiten auftreten. Die Gegenkanten
erſcheinen als 3 Paare windſchiefer Linien. Neben
dem Tetraeder iſt das Quader (re allelepipedon), das Pri8ma, die Pyramide, der
Obelis? gewöhnlich Gegenſtand der Betrachtung.
Die erſten 3 vorgenannten Körper ſind unent»
behrlich für die elementare Behandlung de3 Naum-
inhalt35. Dann bilden die regelmäßigen u. halb»
regelmäßigen Körper den Schluß dieſe3 zweiten
Teils der S. Der dritte u, gewöhnlich lehte Teil
iſt der Lehre von den 3 runden Körpern gewidmet.
Man beſtimmt dabei Oberfläche u. Inhalt, lehtern
unter Anwendung verſchiedener Hilfsmittel, die bei
der Kugel eine bedentſame Vorſchule für die Ge»
danken der Infiniteſimalrechnung werden können.
Den Zujammenhang mit der ſphäriſchen Trigono»
metrie (j. d.) vermitteln die zwei wichtigen Säße,
die man nach dem Koſinus u. Sinu8 benennt,
Keine höhere Schule wird auf die Löſung der
Aufgaben verzichten, die ſich nunmehr aus der
Geographie u. ſphärijchen Aſtronomie ſtellen laſſen
u. zur Klärung der Begriſſe : geographiſche Länge
u. Breite, Weltpol, Zenit, Sonnenhöhe, Deklina-
tion, Stundenwinkel ſo unentbehrlich) ſind. Cben»
ſo ſollte nicht auf die Grundbegriſſe der Parallel»
projektion, vielleicht auch nicht auf die Grundlagen
der Kartenzeichnung verzichtet werden. Realan»-
ſtalten werden darin weiter, vielleicht recht weit
gehen u. gewiß auch die ebenen Schnitte de3 Zy»
linders u, de3 geraden Kegels unterſuchen. Ein
Ausbliek> in die Kegelſchnittslehre iſt jedenfalls
nötig, wenn man das Verſtändnis dieſer ge-
ſchichtlichen Bezeichnung zur allgemeinen Bildung '
Stereometrie,

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Auſmerkjſamkeit werden, Man beginnt mit dem
Quader, Jedes Schulzimmer gibt durc) ein»
faches Abziehen, jeder Baſtein noch unmittelbarer
eine Anſchauung vom Quader. Für jede höhere
Schule follte eine geeignete Körperſammlung nicht
nur vorhanden ſein, ſondern auch beim Unterricht
regelmäßig benußt werden. Selbſiverſtändlich ent-
hält ſie Quader in verſchiedener Form, vielleicht
gar die zur Darſtellung der Formel für (3-4-b) *
nötigen. So ergibt ſich, daß der Schüler in der
erſten od, in den erſten Unterrichtöſtunden nicht
nur lernt, was man unter parallelen Ebenen,
Schnittlinien von Cbenen, Senkrechten zu ihnen
verſteht, ſondern aud einſieht, daß die zur Ebene
jen Gerade zu allen Geraden der Cbene
enkrecht ſieht, die durc< ihren Fußpunkt gehen.
Unter ſachverſtändiger Anleitung hält der Schüler
im Anſchluß an das Quader Umſchau über alle
Teile der Raumlehre u. bejonder8 über das Ge»
biet der Körperberehnung. Das dritte Multi»
plikationsgeſeß : a (be) == bd (36) == 6 (ab) wird
dabei anſc wieſen.
Nach dem Quader kommt da38 Tetraeder
an die Neihe. Man ſcheue ſich nicht, vom allge-
meinen Tetraeder au8zugehen. JInäbeſondere emp»
ſichlt ſic) das Tetraever ABCD (Fig.), in dem
DA zu den Kanten AC u. AB,
aljo zur Cbene ABC ſenkrecht
ſteht. An dieſer Figur beweiſt
man durc einfache Rechnung u.
Anwendung de3 Pythagoreiſchen
Saße3 u. ſeiner Umkehrung, daß
AD zu jeder Geraden ſenkrecht | C
ſteht, die in der ECbene ABC I
liegend durc A geht. Fällt man
von A aus auf BC da3 Lot AL, ſo hat man die
3 Senkrechten DA, AB u. DE; leßtere ſteht zu
BO ſenfrecht, Für dieſe 3 Senkrechten beſteht nun
ein Saß mit 2 Umkehrungen, den man den Saß
von den 3 Senkrechten nennt (vgl. K. Schwering,
S. [21909] 17) od. auch die Saßgruppe über
Projektion u. Projizierte. Dieſe Sahgruppe iſt
in Verbindung mit dem vorgenannten erſten Saße
für die S. von grundlegender Bedeutung, Nun-
mehr iſt e38 möglich, im allgemeinen Tetraeder
die Höhen durch Zeichnung u. Rechnung zu ge»
winnen u. die beiden Säße, den Sinusſaß u. den
Koſinusſaß der dreiſeitigen C>e abzuleiten. Blei-
ben wir zunächſt bei der Zeichnung. Man begeg»
nete früher ſelbſt bei Schulmännern der Anſicht,
daß die Zeichnung in der S. keine Nolle ſpiele, da

rechnet. | man ja feine Cbene zeichnen u. noch weniger in
11. Unterricht8verfahren. Wollte man mit : verſchiedenen Ebenen Figuren beſchreiben könne.
der Auſſtellung von Grundſäßen, mit Erklärungen | Der Irrtum iſt leicht aufzudecken. Es ſoll nur in
u. Betrachtungen über allgemeine Lagenbeziehun» | einer Cbene gezeichnet werden, aber alle an der
gen von Ebenen u. geraden Linien beginnen u. ' Naumfigur vorkommenden Beſtimmungen ſind
dann zur Behandlung der ungeſchloſſenen Gebilde ' zeichneriſch darſtellbar. A1l3 erſte3 Beiſpiel iſt die
übergehen, ſo wäre das durchaus zwecwidrig, | Höhe des allgemeinen Tetraeders zu behandeln.
Auch den wohlbeanlagten Schülern könnten dieſe : Nimmt man deſſen 6 Kanten (Fig.) als gegeben
Abgezc genheiten kein Gegenſtand freiwilliger ' an, legt die Seitendreie>e DAB, DBC, DAC

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