| Deeimalbrüce ooo oM
ahmungswürdiger Vorbilder , theils aus der Geſchichte , theil8 an8 dem alltäglichen Leben.
Auch das Gefühl der Schändlichkeit de8 Undankes, wenn es recht klar vor die Seele des
Zöglinges tritt, beſonders das Mißbehagen über jelbſterſ ahrenen Undank, vermag zur eigenen
Dankbarkeit zu reizen. Doch iſt nicht außer Acht zu laſſen, daß die rechte Dankbarkeit
nirgend38 als eine vereinzelt daſtehende Tugend vorkomini, alſo auch nicht vereinzelt anzu-
erziehen iſt, fonderin immer als Geſammtausdruck edler Sinnesweiſe angetroffen wird. In
dieſem Falle vermag ſie ſich bis zur Selbſtverleugnung au3zubilden, die bereit iſt, für den
Wohlthäter ſogar zu leiden, und al8dann bewahrheitet ſich der Saß, daß aus dem Grade
vorhandener Dankbarkeit der Grad ſittlicher Vollkommenheit eines Menſchen zu erkennen ſei.
Decimalbrüche. Entwickelung und Weſen derſelben. Jn jedem Zahlenſyſteme
ſind die einzelnen Ordnungen des Syſtemes oder die Stellenwerthe die aufeinander folgenden
Potenzen der Grundzahl. Da die nullte Potenz jeder Zahl 1 und die erſte Potenz jeder
Zahl die Zahl ſelbſt iſt, jo iſt in jedem Zahlenſyſteme der erſte Stellenwerth ganzer Zahlen
= 1 und der zweite Stellenwerth == der Grundzahl des Syſtemes. Iſt die Grundzahl
de8 Syſtemes 3, ſo ſind die einzelnen Ordnungen oder Stellenwerthe :
oan 32-3343? 431430 == ,,,.,.. 81-427 494-341
Iſt die Grundzahl 4, ſo ſind die Stellenwerthe:
onen 4 I 4% 4 49 427 41-449 == ,,,..1024-4- 2564 64 4164 44-1
Die Stellenwerthe werden bei einem Zahlenſyſteme nicht hingeſchrieben, ſondern die betref-
ſenden Stellen werden durch Ziffern beſeßt, welche Multiplicatoren der Stellenwerthe ſind.
Im Syſteme der Zahl 3 können die Multiplicatoren nur 1 und 2 ſein, da der Factor 3
eine höhere Ordnung hervorrufen würde. In gleicher Weiſe werden im Viererſyſteme die
Zahlen nur durch die Ziffern 1, 2, 3, im Fünferſyſtem durch die Ziffern 1, 2, 3, 4 dar-
geſtellt. Außerdem bedient man ſich noch des Zeichens 0 zur Ausfüllung leerer Ordnungen.
Unjer Zahlenſyſtem und da3 aller civiliſirten Nationen iſt das Zehnerſyſtem mit der Grund=
zahl 10. Aus dem Obigen leuchtet ein, daß wir zur Darſtellung der Zahlen in dieſem
Syſteme die Ziffern von 1--9 nebſt dem Zeichen 0 gebrauchen. So iſt der aufgelöſte
Werth der Zahl 608437 ==
6.10% 4 0.10% 4- 8.103 4- 4.102 4 3.10? 4- 7.109 ==
6.100000 -4- 0 4- 8.1000 + 4.100 4 3.10 + 7.1.
Jeder Stellenwerth nach links iſt das Zehnfache des vorhergehenden rechten und Jeder Stel-
lenwerth nach rechts der zehnte Theil des vorhergehenden linken. C3 herrſcht alſo in unſerem
Zahlenſyſteme das Zehnergeſeßh. Der leßte linke Stellenwerth ganzer Zahlen iſt 1; ſeßen
wir die Zahlen xeGhe nach dem Zehnergeſeße nach links fort, ſo iſt der nächſte Stellenwerth
140, die folgenden 100, */1000 26. Dieſe Stellen oder Ordnungswerthe recht8 von den
Einern nennt man Decimalen und die durch die auf den Stellen ſtehenden Ziffern ange-
gebenen Vie [ſachen ſind Decimalbrüche , d. h. ſolche Brüche, deren Nenner 10 oder eine
Botenz von 10 iſt. Dieſe Decimalbrüche entſtehen alſo durch Fortſezung des Zehnerſyſtemes
über die Einer nah rec zum unendlich Großen, rechts bis zum unendlich Kleinen fortgeſeßt denken kann, eine Stelle,
jo fennt man vermöge des Zehnergeſeßes alle übrigen. Es genügt alſo ein Zeichen, um
das Stüc> der unendlichen Zahlenreihe zu bezeichnen , mit welchem wir zu re Man bedient ſich zur Bezeichnung des Stellenwerthes allgemein eine8 Punktes oder Kommas,
das man zwiſchen Einer und Zehntel ſeht. Sind keine Einer vorhanden, ſo muß die Stelle
derſelben durch € ausgefüllt werden. Zuweilen ſchreibt man auch die Decimalen etwas
fleiner. So lange eine Ziſſer auf derſelben Stelle ſteht, zeigt ſie auch denſelben Werth an.
Rückt ſie 1 oder 2 Stellen nach recht8, ſo wird ihr Werth 10* oder 10? mal ſo kiein.
Rückt ſie 1, 2 Stellen nach linf8, ſo wird ihr Werth 10* oder 10*?mal ſo groß. Will
man eine Zahl durch 1000 oder 10* multipliciren, ſo muß man ihre Ziffern 3 Stellen
nach links rüden, will man ſie durch dieſelbe Zahl dividiren, ſo muß man ihre Ziffern 3
Stellen nach rechts rücken 2c. Statt die Ziffern zu rücken, wird man lieber das Decimal=
komma ebenſoviel Stellen nach der entgegengeſezten Seite rücken. Werden Nullen der Zif-
ſernreihe jo angefügt, daß die Ziffern auf ihren Stellen bleiben, ſo ſind dieſe Nullen für

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